Лобачевский сформулировал новую аксиому параллельных: «Через точку вне прямой можно провести не только одну прямую, не встречающую данной прямой, а, по крайней мере, две».
Аксиома Лобачевского нам кажется на первый взгляд странной, так как противоречит нашим установившимся геометрическим представлениям. Однако при более глубоком анализе вопроса мы должны признать, что в отличие от других аксиом, касающихся фигур ограниченных размеров, аксиома параллельности Евклида относится к неограниченной прямой и никогда не может быть проверена с помощью непосредственного эксперимента, который может быть проведен лишь в ограниченной части пространства. Если, например, взять угол NCL достаточно малым, то отрезки CL и AB не пересекутся даже на расстоянии, выходящем за пределы нашей планеты. И вот как раз в пределах ограниченной части плоскости, как бы эта часть ни была велика, можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающих данной прямой. Таким образом, нет никакого основания считать аксиому Лобачевского «хуже» аксиомы Евклида в смысле ее соответствия физической реальности.
Посмотрим, какие логические следствия вытекают из аксиомы Лобачевского.
- Если прямые и не встречают прямой , то и любая прямая , проходящая через точку внутри вертикальных углов и , также не встретит прямой . Отсюда первое следствие аксиомы Лобачевского: через точку С вне прямой АВ плоскости АВС проходит бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с прямой АВ.
- а) Две прямые АВ и , имеющие общий перпендикуляр , расходятся;
б) Если вращать прямую около точки С, допустим по часовой стрелке, а прямую АВ около точки в том же направлении так, чтобы углы, образованные этими прямыми с пересекающей их прямой , оставались равными, то прямые АВ и остаются расходящимися, то есть две прямые, образующие при пересечении с третьей прямой равные соответственные углы, расходятся.
Все эти положения отражены в рукописи «Геометрия» 1823 года, которая не была напечатана. 11 февраля 1826 года Лобачевский делает на заседании физико-математического факультета доклад об основах геометрии «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных линиях». Но и эта рукопись не была напечатана и впоследствии потеряна.
Только в 1829-1830 гг. Лобачевскому удалось опубликовать обширный мемуар «О началах геометрии», в который утраченная в 1826 году рукопись входила как часть.
День 11 февраля 1826 года, когда с кафедры Казанского университета впервые были провозглашены Лобачевским его новые идеи, можно считать датой рождения неевклидовой геометрии.
Switch to Legacy Search Page
